Mapear la tercera dimensión implica extender nuestro paisaje matemático desde el plano plano $\mathbb{R}^2$ hasta $\mathbb{R}^3$, estableciendo tres líneas dirigidas mutuamente perpendiculares (los ejes x, y y z) que se intersectan en el origen $O$.
Al igual que usamos la serie de Maclaurin para la función exponencial, $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$, para construir funciones complejas a partir de términos polinómicos simples, construimos el espacio tridimensional particionándolo en ocho octantes usando tres planos coordenados que se intersecan planos coordenados (xy, yz y xz). Esta transición nos permite localizar cualquier punto P como un triple ordenado (a, b, c), representando sus distancias dirigidas desde estos planos: pasando de la "infinita complejidad" de una curva de copo de nieve 2D curva de copo de nieve al volumen estructurado del mundo físico.
La Geometría de $\mathbb{R}^3$
Para identificar puntos en el espacio, fijamos tres líneas dirigidas que pasan por $O$ y son perpendiculares entre sí, llamadas el eje x, eje yy eje z. Su orientación sigue la Regla de la Mano Derecha: si doblas los dedos de tu mano derecha desde el eje x positivo hacia el eje y positivo, tu pulgar apunta hacia el eje z positivo (Figura 2).
Los tres ejes coordenados determinan los tres planos coordenados: el plano xy ($z=0$), el plano yz ($x=0$), y el plano xz ($y=0$). Estos planos dividen el espacio en ocho partes llamadas octantes. El primer octante es donde todas las coordenadas son positivas.
Para cualquier punto $P$, el triple $(a, b, c)$ contiene la coordenada x ($a$), coordenada y ($b$), y coordenada z ($c$). Estas son las distancias dirigidas desde los planos yz, xz y xy, respectivamente.
Analogía Matemática de Mapeo
Localizar un punto $P(a, b, c)$ sumando componentes es conceptualmente similar a sumar los términos de una serie. Considera hallar la suma de la serie $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x+2)^n}{(n+3)!}$. Esto requiere reconocer el patrón familiar de la serie de Maclaurin de $e^x$.
La serie $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x+2)^n}{(n+3)!}$ está relacionada con $e^{x+2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x+2)^n}{n!}$. Para resolverla, manipulamos el índice para ajustarlo a la forma familiar:
$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x+2)^n}{(n+3)!} = (x+2)^{-3} \left[ e^{x+2} - 1 - (x+2) - \frac{(x+2)^2}{2!} \right]$$
Al igual que identificamos ingredientes en una serie de potencias, identificamos ejes y planos para determinar la posición espacial.
El Peligro de la Dimensión
Nota: Cuando se da una ecuación, debemos entender del contexto si representa una curva en $\mathbb{R}^2$ o una superficie en $\mathbb{R}^3$.
- Ecuación $y=5$: En $\mathbb{R}^1$, es un punto. En $\mathbb{R}^2$, es una línea horizontal. En $\mathbb{R}^3$, es un todo plano paralelo al plano coordenado xz (Figura 7).
- Ecuación $y=x$: En $\mathbb{R}^3$, como $z$ es "libre", esta ecuación representa un plano vertical que pasa por el eje z, cortando el plano xy a lo largo de la recta $y=x$.